Cette page se décompose comme suit :

--> Généralités

--> Membrure supérieure

--> Membrure inférieure

--> Montants et diagonales

--> Exemple Freelem.

 

 

 

 

Généralités

 

Les fermes à treillis sont composés de barres fines, généralement des doubles cornières (jumelées) : il s'agit de diagonales et de montants rejoignant la membrure inférieure (appelée aussi entrait) et la membrure supérieure (appelée aussi arbalétrier). Le tout formant un système triangulé, très efficace (maximum de résistance pour minimum de poids), mais coûteux en main d'oeuvre.

Elles peuvent reposer soit sur des poteaux (ce qui est le cas dans la modélisation ci-dessus), soit être prises entre 2 murs.

 

Les barres sont reliées entre elles aux extrémités (noeuds), qu'on considère en général articulées. Ce n'est pas forcément le cas, mais c'est l'hypothèse de calcul usuelle qui permet de surestimer légèrement les efforts. Dans la réalité, les assemblages (boulons, rivets, soudures) sont des encastrements partiels.

 

Si toutes les charges s'appliquent au niveau des noeuds, les barres travaillent uniquement en traction/compression, aucune flexion n'existe : c'est le cas habituel.

Il arrive cependant que les charges ne soient pas forcément appliquées au niveau des noeuds : par exemple si la couverture est posée directement sur la membure supérieure (donc sans l'intermédiaire de pannes), ou si les pannes sont posées entre les noeuds de la membrure supérieure. Dans ce cas se rajoutent des termes de flexion à prendre en compte dans les calculs.

 

Par ailleurs, on suppose en général dans les calculs que les axes neutres des barres sont concourants aux noeuds où elles convergent, ce qui évite l'apparition de moments parasites : (cf schéma ci-dessous, source : "NCCI : Conception et calcul des fermes de toiture" SN027a-FR-EU)

 

Remarque : il arrive que les contraintes dans certaines barres soient nulles. Elles ne sont cependant pas sans utilité. Elles peuvent être sollicitées lors d'une autre mise en charge du treillis ou servir à diminuer la longueur de flambement d'autres barres comprimées.

 

 

 

Calcul de la membrure supérieure

 

Sous l'effet de charges descendantes (gravitaires) appliquées au niveau des noeuds de la membrure supérieure, cette dernière se comprime sans flexion. Il est donc nécessaire de la vérifier au flambement.

Pour le flambement dans le plan, on considère une longueur égale à la distance entre noeuds (flambement retenu par les barres du treillis).

Pour le flambement hors plan, on considère en général une longueur égale à la distance entre pannes. Ceci est vrai si les pannes sont stabilisées longitudinalement (reliées à la poutre au vent).

Dans le cas d'une couverture directement posée sur la membrure, on considère que le flambement hors plan est empêché (rôle de diaphragme, autorisé pour les constructions de classe structurale I ou II). Par contre dans ce cas, il faudra vérifier la membrure à la flexion.

 

 

 

Calcul de la membrure inférieure

 

Sous l'effet de charges descendantes (gravitaires) appliquées au niveau des noeuds de la membrure supérieure, la membrure inférieure est tendue.

Sous l'effet de charges ascendantes (vent par exemple), elle se comprime. Et il faut alors la vérifier au flambement, ce qui peut s'avérer délicat. Pour le flambement dans le plan, à l'image de la membrure supérieure, la longueur est la distance entre noeuds. Pour le flambement hors plan, il n'est pas possible de la justifier si aucun dispositif de retenue de flambement n'est pris en compte, et donc que vous considérez la membrure flambant sur toute sa longueur.

Plusieurs possibilités existent pour affiner les calculs de la membrure inférieure au flambement :

--> abaques de Sahmel (réduction de la longueur de flambement du fait que la compression n'est pas uniforme dans toute la membrure)

--> prise en compte de bracons anti-flambement tirés depuis la membrure inférieure vers les pannes (cf photo ci-dessous)

--> prise en compte de la rigidité des éléments assemblés (rigidité en flexion du bac de couverture, rigidité de l'assemblage ferme-couverture par vis, rigidité en flexion des barres de treillis), qui constituent un maintien élastique de la membrure.

 

 

 

 

Calcul des montants et diagonales

 

Les longueurs de flambement à prendre en compte sont : 0.9 L pour le flambement dans le plan, et L pour le flambement hors plan.

 

 

 

 

 

Exemple de calcul avec Freelem

 

Remarque préliminaire : une alternative au logiciel existe, la méthode de Crémona.

 

On considère une ferme de 16m de portée, 1.5m de hauteur, supportant 5 pannes par versant (posées sur les noeuds de la ferme, écartées de 2m). L'entraxe entre fermes est égal à 5m.

On considère des charges permanentes G = 45 daN/m² et des charges de neige normale S = 68 daN/m².

La combinaison prise en considération est la combinaison 1.35 G + 1.5 S = 163 daN/m². L'objectif est de dimensionner les sections du treillis.

 

2 possibilités pour charger la ferme : soit avec des charges nodales directement appliquées aux noeuds (une charge par panne), soit avec une charge linéique uniformément répartie sur la membrure supérieure. Ce dernier cas est plus rapide à mettre en oeuvre, mais n'oubliez pas de ne pas considérer la flexion qui en résultera ! (flexion car des charges sont appliquées entre les noeuds, ce qui n'est pas le cas dans la réalité)

On choisit de charger avec des efforts nodaux. Chaque panne intermédiaire reprend une charge de 10m² (5x2), soit une charge de 1630 daN. Les pannes sablières (aux extrémités) ne reprennent qu'une demi charge, soit 815 daN. Cette charge étant appliquée directement sur les appuis, elle n'est pas modélisée (elle ne fait pas travailler le treillis).

 

Voilà à quoi la modélisation ressemble :

 

 

Avec l'utilisation du mailleur dans l'onglet des barres, la modélisation est très rapide : vous créez les 2 noeuds appuis (aux extrémités), le noeud central de la membrure inférieure, et le noeud en faitage. Vous liaisonnez par des barres pour constituer les membrures (donc 4 barres, 2 par membrure). Puis vous sélectionnez les 4 barres modélisées, et vous les maillez en 4 barres pour créer tous les noeuds intermédiaires correspondant aux pannes. Il ne reste plus qu'à liaisonner le tout.

J'ai tout modélisé ici en cornières L80x80x8 : peu importe la section, car il s'agit ici de récupérer uniquement les efforts. A partir de ces derniers, nous pourrons dimensionner le treillis.

Tous les montants et diagonales sont articulés en leurs extrémités. Ci dessous la visualisation des relâchements :

 

Attention également aux appuis. Les bons appuis sont : BlocageDX_DY_DZ_RX_RZ d'un côté et BlocageDZ_RX_RZ de l'autre. Cela équivaut à une rotule d'un côté et une simple reprise poids de l'autre (appui glissant), en rajoutant les blocages des rotations hors plan (RX et RZ), puisqu'on travaille dans le plan (rotation suivant Y).

Pourquoi ne pas mettre 2 rotules ? C'est une erreur courante : en modélisant de cette façon, vous empêcheriez la membrure inférieure (entrait) de travailler correctement. En effet, son rôle est celui d'un tirant en tension qui équilibre la ferme. Si à chaque extrémité de l'entrait, vous bloquez la direction X, soit l'axe de l'entrait, vous l'empêchez pratiquement de travailler. La différence est nette : barre 1 avec bons appuis = 292 735 N de traction, barre 1 avec mauvais appuis = 30 142 N....

 

Les résultats sont les suivants :

 

Efforts maximaux dans la membrure supérieure dans les barres numérotées 5 et 6 dans la modélisation Freelem

Effort de compression maximale = 298 031 N

Efforts maximaux dans la membrure inférieure dans les barres numérotées 1 et 15 dans la modélisation Freelem

Effort de traction maximale = 292 735 N

Efforts maximaux dans les montants dans la barre numérotée 3 dans la modélisation Freelem

Effort de traction maximale = 48 445 N

Efforts maximaux dans les diagonales dans les barres numérotées 26 et 27 dans la modélisation Freelem

Effort de compression maximale = 48 986 N

 

 

Ces efforts (et les règles d'élancement minimal) nous amènent à dimensionner comme suit (par exemple) les différents éléments du treillis :

Membrure supérieure = 2 L70x70x8 /// Membure inférieure = 2 L 60x60x7 /// Diagonales = 2 L 60x60x7 /// Montants = 2 L 45x45x5

 

Comment créer des doubles cornières dans Freelem ? Pour l'instant, aucune programmation graphique n'a été faite pour visualiser les double cornières (ce sera fait bientôt). Vous pouvez choisir un profilé de type T, et lui affecter des caractéristiques géométriques qui sont le double d'une cornière simple. C'est conservatif, puisqu'on pourrait utiliser Huygens pour calculer l'inertie Iz, comme expliqué sur le schéma ci-dessous :

 

 

Membrure supérieure en compression : la longueur de flambement considéré est égale à 2000mm.

L'inertie de flexion d'une cornière L70x70x8 simple est Iy = Iz = 47.49 cm4 et l'aire est A = 10.6 cm²

La contrainte de compression est égale à 298031 / 2 / 1060 = 140.6 MPa

Un calcul de flambement suivant Eurocode3 aboutit à un ratio égal à 1 (cliquer )

 

Membrure inférieure en traction --> σ = 292735 / 2 / 800 = 183 MPa < 235 MPa

 

Montant en traction -- > σ = 48445 / 2 / 430 = 56 MPa < 235 MPa

 

Diagonales en compression : la longueur de flambement considérée est la longueur de la barre soit 2.3m

L'inertie de flexion d'une cornière L60x60x7 simple est Iy = Iz = 26.05 cm4 et l'aire est A = 8 cm²

La contrainte de compression est égale à : σ = 48986 / 2 / 800 = 30.6 MPa

Un calcul de flambement suivant Eurocode3 aboutit à un ratio égal à 0.33 (cliquer )