TRACTION

 

On utilise une approximation polynômiale linéaire à deux paramètres de la forme :

Il ne reste donc plus qu’à intégrer le terme précédent pour obtenir l’expression de la matrice raideur élémentaire :

TORSION

 

FLEXION

 

 

 

On travaille ici sur une poutre encastrée/encastrée. Attention, ça ne veut pas dire que la poutre est physiquement encastrée en ses 2 extrémités, et qu'elle ne subit donc aucun déplacement et aucune rotation en ses extrémités. Pour ne pas induire de confusion avec les encastrements physiques de noeuds, on pourrait parler de poutre rigide/rigide, c'est à dire une poutre dans laquelle aucun relâchement n'est défini : elle conduit ainsi intégralement le torseur transmis par les autres éléments raccrochés.

 

On utilise une approximation polynômiale de degré 3 pour représenter de façon exacte le comportement d’une structure chargée au niveau de ses nœuds.

Pour pouvoir identifier les coefficients de notre polynome de degré 3, il nous faut donc un élément ayant 4 variables nodales (v1,θ1,v2,θ2) :

On utilise la méthode du pivot de Gauss pour inverser cette matrice (illustration de cette méthode dans la section "Théorie>Résolution statique", et on obtient  :

 

Prise en compte de l'énergie de cisaillement

 

La matrice précédente ne considère que l'énergie de flexion : l'énergie de cisaillement est en effet négligée.

En général, cette hypothèse est tout à fait acceptable, mais pour des éléments courts l'énergie de cisaillement devient importante et doit être prise en compte. On peut considérer que pour des éléments dont l'élancement L/h est inférieur à 4, la contribution de cette énergie de cisaillement ne peut plus être négligée.

Remarque : si on considère par exemple la flexion Iy, il faut l'associer à la section réduite Az. Et inversement. La flexion Iy est en effet induite par l'effort Fz, ce dernier faisant travailler le profilé considéré par rapport à la section Az.

 

 

Et pour les éléments articulé/articulé ou articulé/encastré ?

 

Pour les éléments articulé/articulé, type contreventements (éléments ne travaillant qu'en traction/compression), c'est très simple : tous les termes de flexion sont nuls. La matrice précédente 4x4 est donc une matrice nulle, et ceci pour les 2 plans de flexion.

 

En ce qui concerne un élément articulé/encastré, la matrice raideur devient (en intégrant les déformations dues au cisaillement) :