Principe de diagonalisation d’une matrice carrée A

 


2 méthodes sont couplées : la méthode de la puissance itérée et la méthode de la déflation.

 

 

1) Méthode de la puissance itérée

 

La méthode de la puissance itérée permet de déterminer la valeur propre maximale de la matrice traitée. Le prérequis de cette méthode est que la matrice est diagonalisable et que toutes les valeurs propres sont distinctes. Le principe est le suivant :

Soit (Xi) les vecteurs propre unitaires de A (matrice supposée diagonalisable), et λ i leurs valeurs propres associées.


2) Méthode de la déflation

 

Cette méthode est complémentaire à la précédente, car elle nécessite la connaissance d’au moins une valeur propre.

Le principe est la construction d’une matrice dite C telle que la valeur propre, associée au vecteur propre dans la matrice A, soit nulle dans la matrice C, C conservant les mêmes valeurs propres que A.

Une fois cette matrice C obtenue, il suffit de recalculer sa valeur propre maxi et on obtiendra alors la deuxième plus grande valeur propre de A.

 

 

Remarque sur l'utilisation inversée de cette méthode :

La méthode précédemment décrite permet de déterminer la valeur propre maximale d'une matrice. Dans notre cas, il est plus intéressant de commencer par la valeur propre minimale (afin que l'utilisateur puisse choisir de calculer le n premiers modes). Pour cela, il suffit simplement d'appliquer la technique précédemment décrite sur l'inverse de la matrice [M]-1[K]. On montre en effet aisément que si λ est valeur propre de l'inverse de A, alors 1/λ est valeur propre de A. Donc déterminer la plus grande valeur propre de l'inverse de A revient à déterminer la plus petite valeur propre de A.