La version 11.0.0 de Freelem permet les calculs sismiques par analyse spectrale.

 

L'analyse modale, qui précède l'analyse spectrale, permet d'extraire les modes propres, et vecteurs propres associés ψi (de dimension 6 x nombre inconnues), normalisés par rapport à la matrice masse réduite M : ψiT x M x ψi = 1

Les facteurs de participations du mode i s'écrivent :

avec Vx, Vy, Vz = vecteurs colonne unitaires sur les ddl x, y ou z, et nuls ailleurs

 

Les masses participantes sont égales au carré des facteurs de participation :

 

 

Freelem réduisant les matrices raideur et masse par suppression des degrés de liberté bloqués, la 1ère étape est de reconstituer intégralement les vecteurs propres ψic (dimension finale = 6 x nombre noeuds).

 

Supposons maintenant que l'on recherche les déplacements x/y/z sur le noeud 2, pour le mode i. Ces déplacements correspondent aux composantes 7, 8 et 9 des vecteurs propres complets (les 6 premières correspondent aux 3 translations et 3 rotations du noeud 1).

Chaque sollicitation directionnelle X-Y-Z de séisme induit des déplacements sur les noeuds :

 

On rappelle que les ai correspondent aux pseudo-accélérations absolues lues sur les spectres, et que ai/ ωi^2 correspond au maximum (temporel) de la réponse en déplacement relatif.

A ce niveau là, nous avons les déplacements sur les nœuds (maximaux) pour chaque mode, et pour chaque direction de sollicitation. Il reste donc à cumuler ces résultats pour obtenir une réponse globale.

 

Le 1 er cumul porte sur les modes : il s’agit ici d’une superposition modale par la méthode CQC (Complete Quadratic Combination), absolue ou algébrique. Ci-dessous les formules pour CQC algébrique :

 

Il s’agit de la méthode la plus couramment employée, permettant de traiter avec finesse la corrélation entre modes propres.

 

Les facteurs de corrélation entre les modes sont  :

Dans le cas d’un cumul purement quadratique, les facteurs de corrélation entre modes εij sont nuls.

 

Remarque  : nous n’effectuons pas de sommation absolue des réponses sur chaque mode, car ce cumul serait beaucoup trop conservatif (il reviendrait à considérer une dépendance complète des oscillateurs associés à chaque mode propre, soit à considérer que les maximum pour chaque mode sont atteints simultanément).

 

Il ne reste plus que le cumul directionnel quadratique (non simultanéité des maximums des réponses directionnelles) :

 

La combinaison quadratique directionnelle correspond à l’hypothèse d’indépendance stricte des réponses dans chaque direction (elle n’a aucune signification géométrique).

 

 

Cette méthode a un inconvénient : elle nécessite l’extraction de tous les modes, ce qui peut s’avérer long. Nous préférerons ainsi utiliser la technique du pseudo-mode correspondant à toutes les fréquences supérieures à la fréquence de coupure du spectre ZPA (plus d’amplification dynamique dans cette gamme de fréquences).

 

On a défini précédemment les facteurs de participation

 

On détermine maintenant les vecteurs réponse quasi-statiques :

 

On en déduit les pseudo modes rigides en soustrayant les contributions des modes souples calculés :

 

Les déplacements pour le pseudo mode rigide sont alors donnés par (pour le séisme X) :

(acX = accélération à la fréquence de coupure pour le spectre X)

 

Le pseudo mode est indépendant des modes souples (modes avec amplification dynamique), et peut donc se combiner avec eux quadratiquement.

 

La réponse finale modes souples + mode rigide est donc :

 

Remarque  : les efforts internes et les réactions s’obtiennent par la même méthodologie de cumuls, et non directement via les valeurs de déplacements finaux cumulés. Il faut déterminer la solution statique complète associée à chaque mode propre, puis effectuer les cumuls sur les déplacements/efforts/réactions.