Construction du vecteur chargement nodal

 

Le vecteur chargement est écrit dans la même base d'inconnues que les matrices globales.

La base d'inconnues de l'exemple à gauche (portique avec déformation dans son plan) est :
(u1, v1, θ1, u2, v2, θ2, u3, v3, θ3)

Par conséquent, le vecteur chargement correspondant à l'application des efforts au noeud 2 est :

(0 , 0 , 0 , F , F , 0 , 0 , 0 , 0)

Dans l'exemple ci-dessus, les bases locales et globales des éléments 2 et 3 sont identiques (x = u / y = v / z = w).

De manière générale, ce n'est pas le cas. La matrice raideur est écrite dans le repère global, donc les degrés de liberté pris en compte sur chaque noeud "inconnu" le sont dans le repère global. Le chargement étant défini par l'utilisateur dans le repère global, la construction du vecteur chargement est immédiate.

 

 

 

Construction du vecteur chargement linéique

La prise en compte des chargements linéiques est ramenée à un chargement nodal car une équivalence est définie suivant le principe suivant :

 

Poutre encastrée/encastrée
Poutre articulée/encastrée
Poutre articulée/articulée Les moments sont nuls. Les efforts V1 et V2 valent qL/2 chacun.

 

 

 

 

Construction du vecteur chargement accélération

 

Les accélérations correspondent à des chargements linéiques.

Exemple : ax = 3 g , ay = 2 g , az = -g (az est donc équivalent au poids propre)
Le chargement linéique équivalent sur la barre traitée est : (3 x ρ x 9,81 x S, 2 x ρ x 9,81 x S, - ρ x 9,81 x S) avec ρ = masse volumique du matériau et S = section de la barre.
La masse volumique étant exprimée en kg/m3 et la section en mm², il suffit de diviser par 1000^3 pour obtenir un chargement linéique en N/mm.

 

 

Construction du vecteur chargement thermique

 

Soit une barre soumise à une dilatation thermique α exprimée en mm/m.

La dilatation thermique est équivalente à l'application de 2 efforts axiaux aux extrémités de la barre. Ces efforts sont égaux mais de signe opposé, et leur norme est égale à : F = E.S.α / 1000 . La loi de Hooke permet de trouver de suite cette équivalence.

 

 

Construction du vecteur chargement trapezoidal pour une poutre encastrée/encastrée (pas encore programmé)

 

avec p1et p2 positifs et exprimés en N/mm

 

Le vecteur est construit dans la base (F1,M1,F2,M2)

 

 

 

Conclusion sur les chargements pris en compte par Freelem

 

Au final, on se rend compte que tous les chargements se ramènent aisément à des chargements nodaux.

En effet, le chargement linéique sur une barre est équivalent à un chargement nodal sur les 2 noeuds extrémités.
Le chargement accélération n'est rien d'autre qu'un chargement linéique dépendant de l'accélération appliquée, de la masse volumique du matériau et de la section de la barre.

Enfin, le chargement thermique s'exprime très facilement via la loi de Hooke en 2 chargements nodaux axiaux opposés.

 

La qualification de la programmation s'en trouve donc très simplifiée, l'algorithmie convergeant systématiquement vers le chargement nodal.